Question

【題目】已知拋物線的標準方程為， 為拋物線上一動點， （）為其對稱軸上一點，直線與拋物線的另一個交點為．當為拋物線的焦點且直線與其對稱軸垂直時， 的面積為18．

（1）求拋物線的標準方程；

（2）記，若值與點位置無關，則稱此時的點為“穩定點”，試求出所有“穩定點”，若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的標準方程為；（2）時， 與無關.

【解析】試題分析：（1）由已知為通徑，因此，由可求得；（2）定點問題處理，設，設直線的方程為，代入拋物線方程，由韋達定理得，計算 ，按和分類后討論可得取特定值時與無關，即為穩定點．

試題解析：（1）由題意， ，∴，

拋物線的標準方程為

（2）設，

設直線的方程為，聯立得，

∴， ，

由對稱性，不妨設，

①時，∵，∴同號，

又，

∴，

不論取何值， 均與有關，即， 不是“穩定點”；

②時，∵，∴異號．

又，

∴，

∴僅當，即時， 與無關，穩定點為