Question

【題目】已知函數f(x)＝(x＋1)e－x(e為自然對數的底數)．

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)設函數φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x，存在實數x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2) (－∞，3－2e)∪.

【解析】試題分析：（1）確定函數的定義域，求導數．利用導數的正負，可得函數的單調區間；（2）假設存在，使得成立成立，則，分類討論求最值，即可求實數的取值范圍．

試題解析：(1)∵函數的定義域為，

∴當時， ；當時，

∴在上單調遞增，在上單調遞減．

(2)假設存在，使得成立，則.

∵

∴.

對于，當時， ， 在上單調遞減，

∴，即.

②當時， ， 在上單調遞增，

∴，即.

③當時，若，則， 在上單調遞減；

若，則， 在上單調遞增，

∴，即.(*)

由(1)知， 在上單調遞減，

故，而

∴不等式(*)無解．

綜上所述， 的取值范圍為