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【題目】已知函數，，函數在點處的切線與函數相切.

（1）求函數的值域；

（2）求證：.

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用導數求出曲線在點處的切線方程，與函數的解析式聯立，由可求得的值，然后利用二次函數的基本性質可求得函數的值域；

（2）要證明，即證，即證，求出函數的最小值，并利用導數求出函數的最大值，由此可得出結論.

（1）切點，，則，.

所以，函數在點處的切線方程為，即.

函數在點處的切線與函數相切.

聯立，化為，

，，解得.

，所以，函數的值域為；

（2）要證，即證，即證.

設，，則函數的定義域為.

，.

當時，，此時，函數單調遞增；

當時，，此時，函數單調遞減.

所以，函數的最大值為.

所以，，但是函數的最小值和函數的最大值不在同一處取得，

因此，.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率，是橢圓上一點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線的斜率為，且直線交橢圓于、兩點，點關于原點的對稱點為，點是橢圓上一點，判斷直線與的斜率之和是否為定值，如果是，請求出此定值，如果不是，請說明理由．

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【題目】考前回歸課本復習過程中，一數學老師在黑板上寫了下面四個函數：①；②；③；④.然后說了四句話：第一句：“該函數定義域為，還是奇函數”.第二句：“該函數為偶函數，值域不是”.第三句：“該函數定義域為，還是單調函數”.第四句：“該函數的圖象有對稱軸，值域是”，若老師的每一句話只說對了一半，則這四個函數中符合老師說的所有函數的編號為______________.

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【題目】某地開發一片荒地，如圖，荒地的邊界是以C為圓心，半徑為1千米的圓周.已有兩條互相垂直的道路OE，OF，分別與荒地的邊界有且僅有一個接觸點A，B.現規劃修建一條新路（由線段MP，，線段QN三段組成），其中點M，N分別在OE，OF上，且使得MP，QN所在直線分別與荒地的邊界有且僅有一個接觸點P，Q，所對的圓心角為.記∠PCA＝（道路寬度均忽略不計）.

（1）若，求QN的長度；

（2）求新路總長度的最小值.

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【題目】如圖，在四棱錐中，已知平面，，，，．

（1）求證：；

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【題目】已知箱中裝有10個不同的小球，其中2個紅球、3個黑球和5個白球，現從該箱中有放回地依次取出3個小球．則3個小球顏色互不相同的概率是_____；若變量ξ為取出3個球中紅球的個數，則ξ的數學期望E（ξ）為_____．

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【題目】已知，如圖四棱錐中，底面為菱形，，，平面，E，M分別是BC，PD中點，點F在棱PC上移動.

（1）證明無論點F在PC上如何移動，都有平面平面；

（2）當直線AF與平面PCD所成的角最大時，求二面角的余弦值.

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【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（t為參數，）．在以坐標原點為極點、x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為．

（1）若點在直線l上，求線l的直角坐標方程和曲線C的直角坐標方程；

（2）已知，點P在直線l上，點Q在曲線C上，且的最小值為，求a的值．

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【題目】點F2是雙曲線的右焦點，動點A在雙曲線左支上，直線l1：tx﹣y+t﹣2＝0與直線l2：x+ty+2t﹣1＝0的交點為B，則|AB|+|AF2|的最小值為（ ）

A.8B.C.9D.

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