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【題目】已知函數，.

（1）證明：當時，函數在區間上單調遞增；

（2）若時，恒成立，求的取值范圍.

【答案】（1）函數在區間上單調遞增（2）

【解析】

（1）求出f（x）的導數，求出函數的單調區間即可證明；

（2）求出函數的導數，問題轉化為研究的單調性及最值，從而借助于f（x）的最小值大于等于0得到，利用零點代換法求得的范圍，則可求出a的范圍．

（1）

當時，

，，

當時，，當時，

所以在區間增，在區間為上減

所以，即，所以函數在區間上單調遞增

（2）設

，所以在上單調遞增,

（1）當，即時，在上是單調遞增的，，

所以

（2）當，即時，，

故存在唯一的，使，所以當時，，當時，，所以在區間增，在區間為上減

所以，，又

得，

又，令，則在上恒成立，

可得是隨增大而增大的，所以

綜上：

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數在的單調性；

（2）當且時，，求函數在上的最小值；

（3）當時，有兩個零點，，且，求證：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數

(1)若討論的單調性;

(2)當時,若函數與的圖象有且僅有一個交點,求的值(其中表示不超過的最大整數,如.

參考數據:

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】甲同學參加化學競賽初賽，考試分為筆試、口試、實驗三個項目，各單項通過考試的概率依次為、、，筆試、口試、實驗通過考試分別記4分、2分、4分，沒通過的項目記0分，各項成績互不影響.

（Ⅰ）若規定總分不低于8分即可進入復賽，求甲同學進入復賽的概率；

（Ⅱ）記三個項目中通過考試的個數為，求隨機變量的分布列和數學期望.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】有限個元素組成的集合為，，集合中的元素個數記為，定義，集合的個數記為，當，稱集合具有性質.

（1）設集合具有性質，判斷集合中的三個元素是否能組成等差數列，請說明理由；

（2） 設正數列的前項和為，滿足，其中，數列中的前項：組成的集合記作，將集合中的所有元素從小到大排序，即滿足，求；

（3） 己知集合，其中數列是等比數列，，且公比是有理數，判斷集合是否具有性質，說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數,．

(1)求函數的極值；

(2)對,不等式都成立,求整數k的最大值；

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若函數y=f（x）對定義域的每一個值x1，在其定義域均存在唯一的x2，滿足f（x1）f（x2）=1，則稱該函數為“依賴函數”．

（1）判斷，y=2x是否為“依賴函數”；

（2）若函數y=a+sinx（a＞1）， 為依賴函數，求a的值，并給出證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某班從4位男生和3位女生志愿者選出4人參加校運會的點名簽到工作，則選出的志愿者中既有男生又有女生的概率的是__________.（結果用最簡分數表示）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知曲線C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，則下面結論正確的是( )

A. 把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2

B. 把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2

C. 把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2

D. 把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2

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