Question

已知函數，.
（1）若，則，滿足什么條件時，曲線與在處總有相同的切線？
（2）當時，求函數的單調減區間；
（3）當時，若對任意的恒成立，求的取值的集合.

Answer 1

（1）且，（2）當時，函數的減區間為，；
當時，函數的減區間為；當時，函數的減區間為，，（3）.

試題分析：（1）根據導數幾何意義分別求出曲線與在處的切線斜率，再根據兩者相等得到，滿足的條件，易錯點不要忽視列出題中已知條件，（2）求函數的單調減區間，一是求出函數的導數，二是判斷對應區間的導數值符號.本題難點在于導數為零時根的大小不確定，需根據根的大小關系分別討論單調減區間情況，尤其不能忽視兩根相等的情況，（3）本題恒成立轉化為函數最小值不小于零，難點是求函數的最小值時須分類討論，且每類否定的方法為舉例說明.另外，本題易想到用變量分離法，但會面臨問題，而這需要高等數學知識.
試題解析：（1），，又，
在處的切線方程為，          2分
又，，又，在處的切線方程為，
所以當且時，曲線與在處總有相同的切線     4分
（2）由，，，
，         7分
由，得，，
當時，函數的減區間為，；
當時，函數的減區間為；
當時，函數的減區間為，.      10分
（3）由，則，，
①當時，，函數在單調遞增，
又， 時，，與函數矛盾，   12分
②當時，，；，
函數在單調遞減；單調遞增，
（Ⅰ）當時，，又，，與函數矛盾，
（Ⅱ）當時，同理，與函數矛盾，
（Ⅲ）當時，，函數在單調遞減；單調遞增，
，故滿足題意.
綜上所述，的取值的集合為.                       16分