Question

【題目】如圖所示，已知A、B、C是長軸長為4的橢圓E上的三點，點A是長軸的一個端點，BC過橢圓中心O，且，.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）設是以原點為圓心，短軸長為半徑的圓，過橢圓E上異于其頂點的任一點P，作的兩條切線，切點分別為M，N，若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m，n，試計算的值是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）是定值，證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）由已知得，數形結合求得的坐標，代入橢圓方程求得，則橢圓方程可求；

（Ⅱ）設，，由，是切點，可知、、、四點共圓．分別寫出以為直徑的圓的方程與圓的方程，聯立可得所在直線方程求出直線在，軸上的截距，結合在橢圓上可得的值是定值．

解：（Ⅰ）依題意知：橢圓的長半軸長，則，

設橢圓的方程為

由橢圓的對稱性知，又

， 為等腰直角三角形，

點C的坐標為，點B的坐標為，

將C的坐標代入橢圓方程得

所求的橢圓的方程為

（Ⅱ）設點，由，是的切點知，，，

、、、四點在同一圓上，

且圓的直徑為OP則圓心為，

其方程為，

即 ①

即點，滿足方程①，又點，都在上，

， 坐標也滿足方程 ②

②①得直線的方程為，

令，得，令得，

，，又點Р在橢圓E上，

，即為定值.