Question

【題目】己知A，B分別為橢圓C：（a＞b＞0）的左右頂點，P為橢圓C上異于A，B的任意一點，O為坐標原點，＝﹣4，△PAB的面積的最大值為．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若橢圓C上存在兩點M，N，分別滿足OM∥PA，ON∥PB，求|OM||ON|的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)根據數量積求得a2＝2.再根據△PAB的面積的最大值為可求得b＝1.

(2) 設P（x0,y0）可證明,再設M（）,N（）從而得出的關系,再利用三角函數與基本不等式的方法求最大值即可.

（1）由,得﹣2a2＝﹣4,即a2＝2．當P為橢圓上、下頂點時,△PAB面積最大,

則,即b＝1．∴橢圓方程為；

（2）設P（x0,y0）,＝．

設M（）,N（）,由,

即sinαsinβ+cosαcosβ＝0,∴cos（α﹣β）＝0,得,k∈Z．

∴cos2β＝sin2α,sin2β＝cos2α．

|OM||ON|＝＝＝．

等號成立時,,比如M（1,）,N（﹣1,）．