Question

【題目】已知函數（，為常數）.

（1）當時，若方程有實根，求的最小值；

（2）設，若在區間上是單調函數，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 最小值為0. (2)

【解析】

（1）當時，利用導數求得的最小值為，所以，故的最小值為.

（2）首先求得的解析式，利用二次求導的方法，結合在區間上是單調函數，將分成和兩種情況進行分類討論，由此求得的取值范圍.

（1）當時，，

.

當時，，為減函數；

當時，，為增函數.

∴.

由，得，

又，∴.即的最小值為0.

（2）∵，∴.

設，則，

可知在上為減函數.

從而.

①當，即時，，在區間上為增函數，

∵，∴在區間上恒成立，即在區間上恒成立.

∴在區間上是減函數，故滿足題意；

②當，即時，設函數的唯一零點為，

則在上單調遞增，在上單調遞減.

又∵，∴，∴在上單調遞增，

∵，∴在上遞減，

這與在區間上是單調函數矛盾.

∴不合題意.

綜合①②得：.