Question

已知函數
若在上的最大值和最小值分別記為，求；
設若對恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）的取值范圍．

試題分析：（1）若在上的最大值和最小值分別記為，求，由函數得，求函數在閉區間最值，可用導數法，故求導得，由于，故需對進行討論，分，，三種情況，利用單調性，分別求出最大值和最小值即可；（2）設若對恒成立，求的取值范圍，可令，由，得，即在上的值域是集合的子集，即求在上的最大值和最小值，讓最大值小于等于，最小值大于等于，即可求出的取值范圍，結合（1）分，，，四種情況討論即可．
（1）因為，所以，由于，
（ⅰ）當時，有，故，此時在上是增函數，因此，，
（ⅱ）當時，若，，在上是增函數，，若，，在上是減函數，所以，，由于，因此，當時，，當時，，
（ⅲ）當時，有，故，此時在上是減函數，因此，，故，綜上；
（2）令，則，，因為，對恒成立，即對恒成立，所以由（I）知，
（�。┊�時，在上是增函數，在上的最大值是，最小值是，則，且，矛盾；
（ⅱ）當時，在上的最大值是，最小值是，所以，，從而且，令，則，在上是增函數，故，因此，
（ⅲ）當時，在上的最大值是，最小值是，所以，，解得，
（ⅳ）當時，在上的最大值是，最小值是，所以，，解得，綜上的取值范圍.
點評：本題主要考查函數最大（最小）值的概念，利用導數研究函數的單調性等基礎知識，同時考查推理論證，分類討論，分析問題和解決問題的綜合解題能力．