Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形， 為等邊三角形， ， 分別是， 的中點， .

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：(Ⅰ)根據正三角形的性質可得，由勾股定理可得，由線面垂直的判定定理可得平面，從而根據面面垂直的判定定理可得平面平面；（Ⅱ）根據平面，可得，結合，可得平面，故為三棱錐的高，根據平面幾何知識分別算出與的面積，由得， 可得點到平面的距離.

試題解析：（Ⅰ）由題意知，正的邊長為， 點為的中點，.

， .

在正方形中， 為的中點，邊長為，則.

在中， ， .

又， 平面.

又平面， 平面 平面；

（Ⅱ）由題意得， ， 為等邊三角形，則， .

平面， .

， 平面.

故為三棱錐的高.

.

又 是的中點， .

在正方形中， ，則在中，滿足， 為直角三角形， .

.

設點到平面的距離為，由得， ，解得.