Question

【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，，，，，平面平面ABC．

（1）求證：平面PBC；

（2）求二面角P-AC-B的余弦值；

（3）求直線BC與平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，（2），（3）

【解析】

（1）由面面垂直的性質定理可得平面，然后可得，再結合條件即可證明

（2）作于點O，于點M，連結，可證明，所以是二面角P-AC-B的平面角，然后求出即可

（3）利用求出點B到平面的距離即可

（1）因為平面平面ABC，平面平面

，平面

所以平面

因為平面，所以

又因為，

所以平面

（2）如圖，作于點O，于點M，連結

因為平面平面ABC，平面平面

，平面

所以平面

根據三垂線定理得：

所以是二面角P-AC-B的平面角

設，因為

所以，

因為，

所以，

所以

即二面角P-AC-B的余弦值為

（3）在（2）的前提下可得：

，

設點B到平面的距離為

因為

所以

所以

所以直線BC與平面PAC所成角的正弦值為