Question

已知函數f(x)=

3

sin(ωx)-2sin2

ωx

2

 (ω＞0)的最小正周期為3π，
（1）求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求∠C及sinA的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為2sin（ωx+

π

6

）-1，根據周期求得ω的值，可得f（x）的解析式2sin（

2

3

x+

π

6

）-1，令 2kπ-

π

2

≤（

2

3

x+

π

6

）≤2kπ+

π

2

，k∈z，
求得x的范圍，即可求得函數f（x）的單調遞增區間．
（2）在△ABC中，由f（C）=1求得sin（

2

3

C+

π

6

）=1，可得 C=

π

2

，A+B=

π

2

．再由2sin²B=cosB+cos（A-C）和同角三角函數的基本關系、誘導公式求得sinA的值．

解答：解：（1）已知函數f(x)=

3

sin(ωx)-2sin2

ωx

2

 (ω＞0)=

3

sinωx+cosωx-1=2sin（ωx+

π

6

）-1 的最小正周期為3π，
∴

2π

ω

=3π，ω=

2

3

，∴f（x）=2sin（

2

3

x+

π

6

）-1．
令 2kπ-

π

2

≤（

2

3

x+

π

6

）≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 3kπ-π≤x≤3kπ+

π

2

，k∈z，
故函數f（x）的單調遞增區間為[3kπ-π，3kπ+

π

2

]，k∈z．
（2）在△ABC中，由f（C）=2sin（

2

3

C+

π

6

）-1=1，可得sin（

2

3

C+

π

6

）=1，∴C=

π

2

，A+B=

π

2

．
再由2sin²B=cosB+cos（A-C），可得 2sin²B=cosB+cos（A-

π

2

）=cosB+sinA=2sinA，∴2cos²A=2sinA，即 1-sin²A=sinA．
解得 sinA=

-1± 5

2

，再由A為銳角可得sinA=

-1+ 5

2

．
綜上可得，C=

π

2

，sinA=

-1+ 5

2

．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，復合三角函數的單調性和周期性，同角三角函數的基本關系及誘導公式，屬于中檔題．