Question

【題目】已知函數，

（1）討論在上的單調性.

（2）當時，若在上的最大值為，證明：函數在內有且僅有2個零點.

Answer 1

【答案】（1），在單調遞減；時，在單調遞增；

（2）證明見解析；

【解析】

（1），分和，討論函數的單調性；（2）根據（1）的結論和最值求，，因為函數單調遞增， ，可知上有一個零點，設，再求，當時，從而得到含的單調性和零點，再判斷函數的單調性和零點.

（1），

當，時，， 單調遞減，

當時，，單調遞增，

綜上得當，在單調遞減；

時，在單調遞增；

（2）由（1）知時

的最大值為

由得，

在上單調遞增；

且，，

在內有且僅有1個零點.

當時

令，

，

在內單調遞減，

且，，

存在，使得，

時，

在單調遞增

時，

在上無零點，

當時，

在內單調遞減；

又

在內有且僅有1個零點，

綜上所述，在內有且僅有2個零點.