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【題目】已知函數，其中為實數.

（1）當時，判斷函數在其定義域上的單調性；

（2）是否存在實數，使得對任意的，恒成立？若不存在，請說明理由；若存在，求出的值并加以證明.

【答案】（1）在和上單調遞增（2）存在，，證明見解析

【解析】

（1）求導得，，設，由恒成立，即可得到本題答案；

（2）當時，，則，求的最大值，可確定a的取值范圍；當時，，則，求的最小值，可確定a的取值范圍，綜上，即可得到本題答案.

（1）當時，，，

令，.

當時，，當時，.

∴，

∴恒成立，

∴時，恒成立.

∵恒成立，

∴在和上單調遞增.

（2）①當時，，則，

令，則，

再令，則，

故當時，，所以在上單調遞減，

所以當時，，所以，

所以在上單調遞增，，所以.

②當時，，則.

由①知當時，，在上單調遞增，當時，，

所以，所以在上單調遞增，

所以，所以.

綜合①②得：.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知兩點分別在軸和軸上運動，且，若動點滿足.

（1）求出動點的軌跡的標準方程；

（2）設動直線與曲線有且僅有一個公共點，與圓相交于兩點（兩點均不在坐標軸上），求直線的斜率之積.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導數．

（1）證明：f′（x）在區間（0，π）存在唯一零點；

（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知曲線C的極坐標方程是.以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線l的參數方程是: (是參數).

(Ⅰ)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程,將直線的參數方程化為普通方程;

(Ⅱ)若直線l與曲線C相交于A、B兩點,且,試求實數m的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱的底面是正三角形，底面，M為的中點．

（1）求證：平面；

（2）若，且沿側棱展開三棱柱的側面，得到的側面展開圖的對角線長為，求作點在平面內的射影H，請說明作法和理由，并求線段AH的長．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某手機廠商在銷售200萬臺某型號手機時開展“手機碎屏險”活動、活動規則如下：用戶購買該型號手機時可選購“手機碎屏險”，保費為元，若在購機后一年內發生碎屏可免費更換一次屏幕．該手機廠商將在這萬臺該型號手機全部銷售完畢一年后，在購買碎屏險且購機后一年內未發生碎屏的用戶中隨機抽取名，每名用戶贈送元的紅包，為了合理確定保費的值，該手機廠商進行了問卷調查，統計后得到下表（其中表示保費為元時愿意購買該“手機碎屏險”的用戶比例）；

（1）根據上面的數據求出關于的回歸直線方程；

（2）通過大數據分析，在使用該型號手機的用戶中，購機后一年內發生碎屏的比例為．已知更換一次該型號手機屏幕的費用為元，若該手機廠商要求在這次活動中因銷售該“手機碎屏險”產生的利潤不少于萬元，能否把保費定為5元？

x

10

20

30

40

50

y

0.79

0.59

0.38

0.23

0.01

參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計分別為，

，

參考數據：表中的5個值從左到右分別記為，相應的值分別記為，經計算有，其中，．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若（）恰有1個零點，則實數的取值范圍為（ ）

A.B.C. D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），若以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（2）若是曲線上的任意一點，是曲線上的任意一點，求線段的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，△ABC的周長為7，求b．

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