Question

【題目】如圖，三棱柱的底面是正三角形，底面，M為的中點．

（1）求證：平面；

（2）若，且沿側棱展開三棱柱的側面，得到的側面展開圖的對角線長為，求作點在平面內的射影H，請說明作法和理由，并求線段AH的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）作法見解析，理由見解析，

【解析】

（1）連結，交于點O，連結OM，先證明，進而得證；

（2）過作于H，通過證明平面，可得證；在中，由射影定理，有，可計算得AH.

（1）如圖，

連結，交于點O，連結OM．

因為三棱柱的側面是平行四邊形，所以O為中點，

因為M為的中點，所以．

又因為平面，平面，

所以平面．

（2）過作于H，

因為平面，平面，所以，

因為是正三角形，M為的中點，

所以，又，平面，

所以平面，又平面，所以，

又因為，平面，

所以平面于H，

所以H為點在平面內的射影．

因為三棱柱側面展開圖是矩形，

且對角線長為，側棱，

所以三棱柱底面周長為．

又因為三棱柱的底面是正三角形，

所以底面邊長，

在中，，

由射影定理，有，

即，所以．