精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】已知函數.

（1）討論函數在定義域內的極值點的個數；

（2）若函數在處取得極值，對任意的恒成立，，求實數的取值范圍.

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出原函數的導函數，然后對 分類討論導函數的符號，在 時由導函數在不同區間內的符號得到原函數的單調性，從而求得函數的極值點；
（Ⅱ）由函數 在 處取得極值求得，代入函數解析式，進一步代入 ，分離參數后構造函數，利用導數求其最小值后得答案．

試題解析：

（1）.

當時，在上恒成立，函數在單調遞減，所以在上沒有極值點；

當時，由得，由得

所以在上遞減，在遞增，即在處有極小值.

綜上：當時，在上沒有極值點；

當時，在上有一個極值點.

（2）因為函數在處取得極值，所以.

因為，令，可得在上遞減，在上遞增.

∴ ∴.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在測試中，客觀題難度的計算公式為，其中為第題的難度， 為答對該題的人數， 為參加測試的總人數．現對某校高三年級120名學生進行一次測試，共5道客觀題．測試前根據對學生的了解，預估了每道題的難度，如下表所示：

題號

1

2

3

4

5

考前預估難度

0.9

0.8

0.7

0.6

0.4

測試后，從中隨機抽取了10名學生，將他們編號后統計各題的作答情況，如下表所示（“√”表示答對，“×”表示答錯）：

學生編號 題號

1

2

3

4

5

1

×

√

√

√

√

2

√

√

√

√

×

3

√

√

√

√

×

4

√

√

√

×

×

5

√

√

√

√

√

6

√

×

×

√

×

7

×

√

√

√

×

8

√

×

×

×

×

9

√

√

×

×

×

10

√

√

√

√

×

（Ⅰ）根據題中數據，將抽樣的10名學生每道題實測的答對人數及相應的實測難度填入下表，并估計這120名學生中第5題的實測答對人數；

題號

1

2

3

4

5

實測答對人數

實測難度

（Ⅱ）從編號為1到5的5人中隨機抽取2人，求恰好有1人答對第5題的概率；

（Ⅲ）定義統計量，其中為第題的實測難度， 為第題的預估難度．規定：若，則稱該次測試的難度預估合理，否則為不合理．判斷本次測試的難度預估是否合理.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在中， 分別是角的對邊，且，若， ，則的面積為( )

A. B. C. D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】選修4-5：不等式選講

已知函數.

（1）若，求不等式的解集；

（2）若方程有三個不同的解，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線過點，且方向向量為；在以為極點， 軸的正半軸為極軸的極坐標系中，圓的極坐標方程為.

（1）求直線的參數方程；

（2）若直線與圓相交于、兩點，求的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】“中國式過馬路” 存在很大的交通安全隱患，某調查機構為了解路人對“中國式過馬路”的態度是否與性別有關，從馬路旁隨機抽取30名路人進行了問卷調查，得到了如圖的列聯表.已知在這30人中隨機抽取1人抽到反感“中國式過馬路”的路人的概率是.

（1）求列聯表中的的值；
（2）根據列聯表中的數據，判斷是否有把握認為反感“中國式過馬路”與性別有關？

參考公式：，

臨界值表：

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知， 是的導函數.

（1）求的極值；

（2）證明：對任意實數，都有恒成立；

（3）若在時恒成立，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】學校高三數學備課組為了更好地制定復習計劃，開展了試卷講評后效果的調研，從上學期期末數學試題中選出一些學生易錯題，重新進行測試，并認為做這些題不出任何錯誤的同學為“過關”，出了錯誤的同學為“不過關”，現隨機抽查了年級50人，他們的測試成績的頻數分布如下表：

期末分數段

人數

5

10

15

10

5

5

“過關”人數

1

2

9

7

3

4

（1）由以上統計數據完成如下列聯表，并判斷是否有的把握認為期末數學成績不低于90分與測試“過關”有關？說明你的理由：

分數低于90分人數

分數不低于90分人數

合計

“過關”人數

“不過關”人數

合計

（2）在期末分數段的5人中，從中隨機選3人，記抽取到過關測試“過關”的人數為，求的分布列及數學期望．

下面的臨界值表供參考：

0.15

0.10

0.05

0.025

2.072

2.706

3.841

5.024

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線方程為.

（1）求該雙曲線的實軸長、虛軸長、離心率；

（2）若拋物線的頂點是該雙曲線的中心，而焦點是其左頂點，求拋物線的方程.

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