Question

【題目】把邊長為a的等邊三角形鐵皮剪去三個相同的四邊形（如圖陰影部分）后，用剩余部分做成一個無蓋的正三棱柱形容器(不計接縫)，設容器的高為x，容積為.

（1）寫出函數的解析式，并求出函數的定義域；

（2）求當x為多少時，容器的容積最大？并求出最大容積.

Answer 1

【答案】（1）；函數的定義域為（2）當正三棱柱形容器高為時，容器的容積最大為

【解析】

（1）根據棱柱的體積公式進行求解即可；

（2）利用導數求出函數的最大值即可.

（1）因為容器的高為x，則作成的正三棱柱形容器的底邊長為

則.函數的定義域為.

（2）在開區間內，

令，即令，解得（舍）.

因為在區間內，可能是極值點.當時，；

當時，.

因此是極大值點，且在區間內，是唯一的極值點，所以是的最大值點，并且最大值

即當正三棱柱形容器高為時，容器的容積最大為.