Question

【題目】如圖，在正方體中，E、F、G、H分別是的中點.

（1）證明：平面

（2）證明：平面平面.

（3）求直線AE與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】

（1）用線面平行的判定定理即可證明；（2）建立適當的坐標系，分別找出平面和平面的一個法向量和，然后求出，即可證明平面平面；

（3）根據線面角的正弦值即為直線與平面的法向量夾角的余弦值的絕對值，即可求出結果.

（1）連接，，因為為正方體，所以四邊形為矩形，

所以，因為平面，平面，所以平面；

（2）如圖以為原點，分別以，，為軸，軸，軸的正半軸，建立空

間直角坐標系，設正方體棱長為2，所以，，，所以

，，設平面的法向量為，所以，即，

令，則，，所以，設平面的法向量為

，又，，，所以，

，所以

即，令，所以，，所以，所以，

所以，所以平面平面；

（3）由（2）可得，平面的一個法向量為，設線AE與平面

所成角為 ，所以.