Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣x，g（x）=ex﹣ax﹣1（e為自然對數的底數）．
（1）討論函數g（x）的單調性；
（2）當x＞0時，f（x）≤g（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵g（x）=ex﹣ax﹣1，∴g'（x）=ex﹣a

①若a≤0，g'（x）＞0，g（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增；

②若a＞0，當x∈（﹣∞，lna]時，g'（x）＜0，g（x）單調遞減；

當x∈（lna，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）單調遞增．

（2）解：當x＞0時，x2﹣x≤ex﹣ax﹣1，即

令 ，則

令φ（x）=ex（x﹣1）﹣x2+1（x＞0），則φ'（x）=x（ex﹣2）

當x∈（0，ln2）時，φ'（x）＜0，φ（x）單調遞減；

當x∈（ln2，+∞）時，φ'（x）＞0，φ（x）單調遞增

又φ（0）=0，φ（1）=0，

∴當x∈（0，1）時，φ（x）＜0，即h'（x）＜0，∴h（x）單調遞減；

當x∈（0，+∞）時，φ（x）=（x﹣1）（ex﹣x﹣1＞0，即h'（x）＞0，

∴h（x）單調遞增，

∴h（x）min=h（1）=e﹣1，

∴實數a的取值范圍是（﹣∞，e﹣1]．

【解析】（1）求出g'（x）=ex﹣a，由a≤0和a＞0分類討論，由此能求出結果．（2）當x＞0時， 令 ，則 令φ（x）=ex（x﹣1）﹣x2+1（x＞0），則φ'（x）=x（ex﹣2），由此利用導數性質能求出實數a的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．