Question

【題目】已知，是動點，以為直徑的圓與圓：內切.

（1）求的軌跡的方程；

（2）設是圓與軸的交點，過點的直線與交于兩點，直線交直線于點，求證：三點共線.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）設出，根據相切得出關于的方程，由方程對應的幾何意義得出的軌跡的方程；

（2）設出，，解出點坐標，從而得出的坐標，設過點的直線并與橢圓聯立方程組，借助韋達定理進行化簡、證明.

解：（1）設，

則的中點的坐標為，

因為圓與圓內切，點在圓內，

所以，

即，

整理得，

設，則，

即的軌跡是以，為焦點，長軸長為4的橢圓.

由，，

得，

所以的方程為.

（2）設，.

因為是圓與軸的交點，不妨設，，

則.

因為直線的方程為，

所以，則.

依題意，

因為直線過，斜率不為0，

故可設其方程為，

由

消去并整理得，

則，，

因為

，

所以，

故三點共線.