Question

【題目】已知橢圓的離心率為，短軸的一個端點到右焦點的距離為2．

（1）求橢圓的方程；

（2）設分別為橢圓的左、右頂點，如圖，過點分別作直線與，設直線交橢圓于另一點交橢圓于另一點，分別過和作橢圓的兩條切線，且兩條切線交于點，分別過和作橢圓的兩條切線，且兩條切線交于點．證明：點在直線上．

Answer 1

【答案】（1）

（2）證明見解析

【解析】

（1）根據題意列出關于的方程組，解方程組即可得的值，即可求得橢圓的標準方程；

（2）先設出過點的切線方程，再將此直線方程和橢圓方程聯立，利用直線與橢圓只有一個交點得點的坐標，設出點的坐標，結合點的坐標可得直線的斜率，同理得直線的斜率，進而可得點在直線上．

（1）由橢圓的離心率為，短軸的一個端點到右焦點的距離為2．

可得，解得，

所以橢圓的方程為．

（2）設過點的切線為，

由，整理得，

由，可得，化簡得，

所以切點的橫坐標為，所以，

由題意知，

設，則直線的斜率．

因為三點共線，所以，即

，得，

又因為，所以，

所以，

同理可得，，

所以三點共線，從而點在直線上．