Question

已知為雙曲線的左、右焦點．
（Ⅰ）若點為雙曲線與圓的一個交點，且滿足，求此雙曲線的離心率；
（Ⅱ）設雙曲線的漸近線方程為，到漸近線的距離是，過的直線交雙曲線于A，B兩點，且以AB為直徑的圓與軸相切，求線段AB的長．

Answer 1

（Ⅰ）； （Ⅱ）。

解析試題分析：（Ⅰ）由題設得：，又,
∴，故離心率
（Ⅱ）∵雙曲線的漸近線方程為，到漸近線的距離是，
∴ ，雙曲線方程為，，離心率，
設，∴，同理，
∵ 以AB為直徑的圓與軸相切，∴
，∴．
考點：本題考查雙曲線的基本性質、雙曲線方程的求法以及直線與雙曲線的綜合問題。
點評：直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．