Question

【題目】在平面直角坐標系中，設的頂點分別為，圓是的外接圓，直線的方程是.

（1）求圓的方程；

（2）證明：直線與圓相交；

（3）若直線被圓截得的弦長為3，求的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）或.

【解析】

（1）求出邊AC、BC的垂直平分線方程，根據圓心M在這2條邊的垂直平分線上，可得M（,），再求出半徑MC的值，即可得到圓的標準方程．（2）根據直線l經過定點N，而點N在圓的內部，即可得到直線和圓相交．（3）由條件利用弦長公式求得圓心M（,）到直線l的距離為d=．再根據據點到直線的距離公式求得m的值，可得直線l的方程．

（1）∵△ABC的頂點分別為A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0），故線段BC的垂直平分線方程為x＝，

線段AC的垂直平分線為 y＝x，再由圓心M在這2條邊的垂直平分線上，可得M（，），

故圓的半徑為|MC|＝＝，故圓的方程為+＝．

（2）根據直線l的方程是（2+m）x+（2m﹣1）y﹣3m﹣1＝0（m∈R），即m（x+2y﹣3）+2x﹣y﹣1＝0，

由可得，故直線經過定點N（1，1）．

由于MN＝＝＜r＝，故點N在圓的內部，故圓和直線相交．

（3）∵直線l被圓M截得的弦長為3，

故圓心M（，）到直線l的距離為d＝＝．

再根據點到直線的距離公式可得＝，求得 m＝﹣2，或m＝，

故直線l的方程為y＝1或x＝1．