Question

已知函數f(x)=lnx-

ax2

2

+(a-1)x-

3

2a

，其中a＞-1且a≠0．
（Ⅰ） 當a＞0時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ） 若函數f（x）有兩個相異的零點x₁，x₂．
（i） 求實數a的取值范圍．
（ii） 求證：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析：（I）先求出函數f（x）的導函數f′（x），由a＞0，x＞0，得-ax-1＜0，進而得到函數的單調區間；
（II）（i）令f′（x）=0，求出函數的臨界點，再對a進行分類討論，結合（I）的結果判斷出函數的單調性，進行得出函數的極值，根據單調性和題意確定極值的符號，分別求出a的范圍，最后要求它們的并集；
（ii）先證明下列不等式：當a＞3時，對任意的x∈（0，1），f（2-x）＞f（x）令g（x）=f（2-x）-f（x），g′(x)=

-2(x-1)2

x(2-x)

＜0，則g（x）在（0，1]單調遞減，由此及彼入手，能夠證明x₁+x₂＞2．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

(x-1)(-ax-1)

x

由于a＞0，x＞0，得-ax-1＜0，
∴f（x）的單調遞增區間為（0，1]，單調遞減區間為[1，+∞）．
（Ⅱ）f′(x)=

(x-1)(-ax-1)

x

，x＞0，令f′（x）=0，解得x=1，或x =-

1

a

，
（i）當a＞0時，f（x）在（0，1]單調遞增，[1，+∞）單調遞減．
∴f（1）＞0，即f(1)=

(a-3)(a+1)

2a

＞0，∴a＞3
當-1＜a＜0時，-

1

a

＞1，
∴f（x）在（0，1]單調遞增，在[1，-

1

a

]單調遞減，在[-

1

a

，+∞)單調遞增，
要使的f（x）在（0，+∞）上有兩個相異零點，
則f(-

1

a

)=0，此時方程無解．                         
綜上所得，實數a的范圍為（3，+∞）
（ii）先證明下列不等式：當a＞3時，對任意的x∈（0，1），f（2-x）＞f（x）
令g（x）=f（2-x）-f（x），g′(x)=

-2(x-1)2

x(2-x)

＜0，
則g（x）在（0，1]單調遞減，
又∵g（1）=0，∴g（x）＞g（1）=0，
即對任意的x∈（0，1），f（2-x）＞f（x）
由（i）得函數f（x）的兩個零點x₁，x₂（不妨設x₁＜x₂），滿足0＜x₁＜1＜x₂，
故0=f（x₂）=f（x₁）＜f（2-x₁）
由于x₂＞1，2-x₁＞1，又由（i）得f（x）在（1，+∞）上單調遞減，從而x₂＞2-x₁
即x₁+x₂＞2．

點評：本題主要考查了函數導數與單調性、零點以及不等式的問題，主要是利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查計算能力和分析問題的能力，以及分類討論思想．