Question

(22)設函數f(x)=x²+bln(x+1)，其中b≠0.

(Ⅰ)當b＞時，判斷函數f(x)在定義域上的單調性；

(Ⅱ)求函數f(x)的極值點；

(Ⅲ)證明對任意的正整數n，不等式ln(+1)＞都成立.

Answer 1

解：(Ⅰ)由題意知，f(x)的定義域為(-1，+∞)，f′(x)=2x+

設g(x)=2x²+2x+b，其圖象的對稱軸為x=∈(-1，+∞)，

∴g(x)_min=g()=+b.

當b＞時，g(x)_min=+b＞0，

即  g(x)=2x²+2x+b＞0在(-1，+∞)上恒成立.

∴當x∈(-1，+∞)時，f′(x)＞0.

∴當b＞時，函數f(x)在定義域(-1，+∞)上單調遞增.

(Ⅱ)①由(Ⅰ)得，當b＞時，函數f(x)無極值點.

②b=時，f′(x)==0有兩個相同的解x=，

∵x∈(-1，)時，f′(x)＞0，

x∈(，+∞)時，f′(x)＞0，

∴b=時，函數f(x)在(-1，+∞)上無極值點.

③當b＜時，f′(x)=0有兩個不同解，x₁=，x₂=，

∵b＜0時，x₁=＜-1，x₂=＞-1，

即x₁(-1，+∞)，x₂∈(-1，+∞)，

∴b＜0時，f′(x)、f(x)隨x的變化情況如下表：

x	(-1，x2)	x2	(x2，+∞)
f′(x)	-	0	+
f(x)	↘	極小值	↗

由此表可知：b＜0時，f(x)有惟一極小值點x₂=；

當0＜b＜時，x₁=＞-1.

∴x₁，x₂∈(-1，+∞)，

此時，f′(x)、f(x)隨x的變化情況如下表：

x	(-1，x1)	x1	(x1，x2)	x2	(x1，+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗

由此表可知：0＜b＜時，f(x)有一個極大值點x₁=和一個極小值點x₂=，

綜上所述，b＜0時，f(x)有惟一極小值點x=，

0＜b＜時，f(x)有一個極大值點x=和一個極小值點x=；

b≥時，f(x)無極值點.

(Ⅲ)當b=-1時，函數f(x)=x²-ln(x+1)，

令函數h(x)=x³-f(x)=x³-x²+ln(x+1)，

則h(x)=3x²-2x+.

∴當x∈[0，+∞)時，h′(x)＞0，所以函數h(x)在[0，+∞)上音調遞增，

又h(0)=0，

∴x∈(0，+∞)時，恒有h(x)＞h(0)=0，即x³＞x²-ln(x+1)恒成立，

故當x∈(0，+∞)時，有ln(x+1) ＞x²-x³.

對任意正整數n，取x=∈(0，+∞)，則有ln (+1)＞，

所以結論成立.