Question

【題目】若存在實常數和，使得函數和對其定義域上的任意實數分別滿足： 和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知， 為自然對數的底數)．

（1）求的極值；

（2）函數和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當時， 取極小值，其極小值為（2）函數和存在唯一的隔離直線

【解析】試題分析：（1）由已知中函數f（x）和φ（x）的解析式，求出函數F（x）的解析式，根據求導公式，求出函數的導數，根據導數判斷函數的單調性并求極值；（2）由（1）可知，函數f（x）和φ（x）的圖象在（，e）處相交，即f（x）和φ（x）若存在隔離直線，那么該直線必過這個公共點，設隔離直線的斜率為k．則隔離直線方程為y-e=k（x-），即y=kx-k+e，根據隔離直線的定義，構造方程，可求出k值，進而得到隔離直線方程

試題解析：（1） ，

．

當時， ．當時， ，此時函數遞減；

當時， ，此時函數遞增；

∴當時， 取極小值，其極小值為．

（2）解法一：由（1）可知函數和的圖象在處有公共點，因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點．

設隔離直線的斜率為，則直線方程為，即．

由，可得當時恒成立．

，

由，得．

下面證明當時恒成立．

令，則，

當時， ．

當時， ，此時函數遞增；

當時， ，此時函數遞減；

∴當時， 取極大值，其極大值為．

從而，即恒成立.

∴函數和存在唯一的隔離直線．

解法二：由（Ⅰ）可知當時， （當且當時取等號）．

若存在和的隔離直線，則存在實常數和，使得和恒成立，令，則且

，即．后面解題步驟同解法一．