【題目】已知函數
，證明.
（1）
存在唯一的極小值點；
（2）的極小值點為
則
.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【解析】
(1)求出函數的導數并二次求導，即設
，
，結合余弦函數和指數函數的性質可求出當
，
恒成立，即可判斷出
在上的單調性，由零點存在定理可求出
在區間
上存在唯一的零點
，進而可證明結論.
(2)由
，
，由零點存在定理可得極小值點
，進而可得
，結合三角恒等變換可得
，由正弦三角函數可求出
.
解：（1）
，設，則，
當
時，
，所以
.
當
時，
，
綜上所述，當，恒成立，
故
在上單調遞增.
又
，由零點存在定理可知，
函數在區間上存在唯一的零點，
，
結合單調性可得
在
上單調遞減，在
上單調遞增，
所以函數存在唯一極小值點.
（2）由（1）知，，
，
，而
，所以
，
即，，故極小值點，
且
，即
，由
式，得
.由，
得
，所以
，即.
孟建平小學滾動測試系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校舉辦的體育節設有投籃項目.該項目規定：每位同學僅有三次投籃機會，其中前兩次投籃每投中一次得1分，第三次投籃投中得2分，若不中不得分，投完三次后累計總分.
（1）若甲同學每次投籃命中的概率為
，且相互不影響，記甲同學投完三次后的總分為X，求隨機變量X的概率分布列；
（2）若（1）中的甲同學邀請乙同學一起參加投籃項目，已知乙同學每次投籃命中的概率為
，且相互不影響，甲、乙兩人之間互不干擾.求甲同學的總分低于乙同學的總分的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧AB與直線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC=
，
，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直線DE和EF的距離均為7 cm，圓孔半徑為1 cm，則圖中陰影部分的面積為________cm2．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在3世紀中期，我國古代數學家劉徽在《九章算術注》中提出了割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”.這可視為中國古代極限觀念的佳作.割圓術可以視為將一個圓內接正
邊形等分成個等腰三角形(如圖所示)，當變得很大時，等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積.運用割圓術的思想，可得到sin3°的近似值為（ ）(
取近似值3.14)
A.0.012B.0.052
C.0.125D.0.235
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的左焦點
，點
在橢圓上.
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）經過圓
：
上一動點
作橢圓的兩條切線，切點分別記為
，
，直線
，
分別與圓相交于異于點的
，
兩點.
（i）當直線，的斜率都存在時，記直線，的斜率分別為
，
.求證：
；
（ii）求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在邊長為4的正三角形
中，E為邊
的中點，過E作
于D.把
沿
翻折至
的位置，連結
.翻折過程中，其中正確的結論是（ ）
A.
；
B.存在某個位置，使
；
C.若
，則
的長是定值；
D.若，則四面體
的體積最大值為
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系內，點A，B的坐標分別為
，
，P是坐標平面內的動點，且直線
，
的斜率之積等于
，設點P的軌跡為C.
（1）求軌跡C的方程；
（2）設過點
且傾斜角不為0的直線
與軌跡C相交于M，N兩點，求證：直線
，
的交點在直線
上.
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