Question

【題目】已知函數，

（1）討論在上的單調性.

（2）當時，若在上的最大值為，討論：函數在內的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減；（2）個零點

【解析】

（1）求得，根據范圍可知，進而通過對的正負的討論得到函數單調性；

（2）由（1）可得函數在上的單調性，進而利用最大值構造方程求得，得到函數解析式；利用單調性和零點存在定理可確定在上有個零點；令，求導后，可確定在上存在零點，從而得到的單調性，通過單調性和零點存在定理可確定零點個數.

（1）

當時，

當，時，；當，時，

當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減

（2）由（1）知，當時，在上單調遞增

，解得：

在上單調遞增，，

在內有且僅有個零點

令，

當時，，，

在內單調遞減

又，

，使得

當時，，即；當時，，即

在上單調遞增，在上單調遞減

在上無零點且

又

在上有且僅有個零點

綜上所述：在上共有個零點