Question

【題目】已知橢圓及點，若直線與橢圓交于點，且（ 為坐標原點），橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若斜率為的直線交橢圓于不同的兩點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)1.

【解析】試題分析： 由橢圓的離心率公式得到，設點在第一象限，由橢圓的對稱性可知，所以，進而求得點的坐標，然后聯立方程求得，即可得到橢圓的標準方程；

設直線的方程為，聯立橢圓方程，求得或，設，求出的值，又由題意得， 到直線的距離，進而求得面積的最大值

解析：（1）由橢圓的離心率為，得，所以.

設點在第一象限，由橢圓的對稱性可知，所以，

因為點坐標為，所以點坐標為，

代入橢圓的方程得，與聯立，

可得，所以橢圓的標準方程為.

（2）設直線的方程為，由得.

由題意得， ，

整理得，所以或.

設，則，

所以

.

又由題意得， 到直線的距離.

的面積

當且僅當，即時取等號，且此時滿足，

所以面積的最大值為1.