Question

【題目】如圖，四邊形與均為菱形， ，且.

（1）求證： 平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）根據菱形性質得，設與相交于點，由等腰三角形性質得,再根據線面垂直判定定理得平面；（2）先證明平面，再建立空間直角坐標系，設立各點坐標，根據方程組解出平面法向量。利用向量數量積求出向量夾角，最后根據向量夾角與線面角互余關系確定直線與平面所成角的正弦值.

試題解析：（1）設與相交于點，連接，

∵四邊形為菱形，∴，且為中點，

∵，∴,

又，∴平面.

（2）連接，∵四邊形為菱形，且，∴為等邊三角形，

∵為中點，∴，又，∴平面.

∵兩兩垂直，∴建立空間直角坐標系，如圖所示，

設，∵四邊形為菱形， ，∴.

∵為等邊三角形，∴.

∴，

∴.

設平面的法向量為，則，

取，得.

設直線與平面所成角為，

則.