Question

【題目】設函數f（x）= ﹣alnx．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數y=f（x）的單調區間和極值；
（Ⅲ）若函數f（x）在區間（1，e2]內恰有兩個零點，試求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=1時，

f（x）= ﹣lnx，f'（x）=x﹣ ，

∵f'（1）=0，f（1）= ，

∴在點（1，f（1））處的切線方程y= ；

（Ⅱ）f'（x）= ，

當a≤0時，f'（x）＞0，f（x）遞增，函數無極值；

當a＞0時，在（0， ）時遞減，在（ ，+∞）時遞增，函數的極小值為f（ ）=0；

（Ⅲ）f（x）= ﹣alnx在區間（1，e2]內恰有兩個零點，

∴y= 與y= 在區間（1，e2]內恰有兩個交點，

令g（x）= ，g'（x）= ，

g（x）在（0，e）遞增，在（e，e2）上遞減，

∴g（e）= ，g（e2）= ，

∴ ∈[ ， ），

∴a∈（ ， ]．

【解析】（1）當a=1時，對f（x）求導，根據導函數求出在（1，f（1））的切線斜率，在由點斜式可得到切線方程，（2）對a進行分類討論，得出f（x）的單調區間和極值，（3）f（x）= ﹣alnx在區間（1，e2]內恰有兩個零點，可轉化為y= 與y= 在區間（1，e2]內恰有兩個交點,求導可得出的范圍，從而得到a的范圍.