Question

【題目】設Sn是數列{an}的前n項和，an＞0，且 ．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設 ，Tn=b1+b2+…+bn ， 求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，Sn﹣1= an﹣1（an﹣1+3），

∴an= [ +3an﹣（ +3an﹣1）]，

整理得： ﹣ =3（an+an﹣1），

又∵an＞0，

∴an﹣an﹣1=3，

又∵a1= a1（a1+3），即a1=3或a1=0（舍），

∴數列{an}是首項、公差均為3的等差數列，

∴其通項公式an=3n

（2）證明：由（1）可知 = = （ ﹣ ），

∴Tn=b1+b2+…+bn

= （ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）

= （ ﹣ ）

＜

【解析】（1）通過 與Sn﹣1= an﹣1（an﹣1+3）作差，進而可知數列{an}是首項、公差均為3的等差數列，計算即得結論；（2）通過（1）裂項可知bn= （ ﹣ ），進而并項相加即得結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．