Question

【題目】已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
（1）若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程．
①當切線在兩坐標軸上的截距為零時，設切線方程為y＝kx，
則 ，解得k＝2± ，
從而切線方程為y＝（2± ）x.
②當切線在兩坐標軸上的截距不為零時，設切線方程為x＋y－a＝0，則 ，解得a＝－1或3，
從而切線方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
綜上，切線方程為（2＋ ）x－y＝0或（2－ ）x－y＝0或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
（2）點P在直線l：2x－4y＋3＝0上，過點P作圓C的切線，切點記為M，求使|PM|最小的點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：將圓C的方程整理，得（x＋1）2＋（y－2）2＝2
（2）解：因為圓心C（－1,2）到直線l的距離d＝ ，所以直線l與圓C相離．
當|PM|取最小值時，|CP|取得最小值，此時CP垂直于直線l.
所以直線CP的方程為2x＋y＝0.
解方程組 得點P的坐標為（－ ， ）
【解析】（1）通過將圓C的方程整理，可以得到圓的方程。
（2）由題意可得圓心到直線的距離小于半徑，所以直線與圓C相離，所以當|PM|取最小值時，|CP|取得最小值，此時CP垂直于直線l.，所以可以得到直線CP的方程，列出等式解出，可以得到點P的坐標。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解圓的標準方程的相關知識，掌握圓的標準方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程．