Question

【題目】已知函數

(Ⅰ)求函數的圖像在點處的切線方程.

(Ⅱ)若且對任意恒成立，求的最大值；

(Ⅲ)當時，證明：

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)3；(Ⅲ)證明見解析.

【解析】

(Ⅰ)首先求得導函數的解析式，據此可得切線的斜率，然后求解切線方程即可；

(Ⅱ)將原問題轉化為函數在給定區間上恒成立的問題，構造新函數，結合函數的單調性和零點存在定理即可確定的最大值；

(Ⅲ)結合(Ⅱ)中證得的函數單調性和不等式的性質得到關于m,n的不等式，對不等式進行整理變形即可證得題中的結論.

(Ⅰ)因為，所以，

函數的圖像在點處的切線方程;

(Ⅱ)由題意可知對任意恒成立即對任意恒成立.

令，則，

令,則，

所以函數在上單調遞增，

因為,，

所以方程在上存在唯一實根，

且滿足.

當時,即，

當時,，即，

所以函數在上單調遞減,在上單調遞增，所以：

，

所以，故整數的最大值是3.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,是上的增函數，

所以當時,即，

整理得，

因為，故，

所以，

即，

即，

所以.