Question

【題目】已知在區間上的值域.

(1)求的值；

(2)若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍；

(3)若函數有三個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：

（1）根據函數圖象的開口方向及對稱軸與區間的關系得到函數的最值后，根據條件可得．（2）由已知可得在上恒成立，

分離參數可得在上恒成立，換元令，則，可得在上恒成立，構造函數得到的最小值為．（3）由題意可得方程有三個不同的根，令，則得，根據函數有3個零點可得方程有兩個不同的實數解，且，或．然后根據方程根的分布得到不等式可得所求范圍．

試題解析：

(1)由題意得，在區間上值域．

①當時，

則的最小值為，

由，解得，

∴ ，

此時，滿足在區間上值域.

②當在區間上單調遞減，

則的最小值為，

由，解得，不合題意，舍去．

③當則在區間上單調遞增，

則的最小值為，

由，解得．不合題意，舍去．

綜上．

(2)由已知可得在上恒成立，

可得化為在上恒成立，

令，

因，故，

則在上恒成立，

記， ，

故在區間上單調遞減，

所以，

故．

所以的取值范圍是.

(3)由題意得函數有三個零點，

故方程有三個不同的根，

令， ，

∵，

∴當時， 的范圍且單調遞減；

當時的范圍且單調遞增；

當時，

當時的范圍且單調遞增．

則有兩個不同的實數解，

已知函數3個零點等價于其中，或.

記，

則 ① 或 ②

解不等組①，得，而不等式組②無實數解，

所以實數的取值范圍是.