【題目】已知函數
.
(1)求不等式
的解集;
(2)函數
若存在
使得
成立,求實數
的取值范圍;
(3)若函數
討論函數
的零點個數(直接寫出答案，不要求寫出解題過程).
【答案】(1) 
；(2) 
；(3)答案見解析.
【解析】【試題分析】（1）先判斷出函數
的是定義在區間
上的減函數，然后將所求不等式等價轉化為
即
，由此求得解集為
.（2）由題意知: 
時, 
值域有交集. 
時, 
是減函數
對
分成兩類討論得出
的值域，由此求得
的取值范圍.（3）由
，得
，令
則
作出圖像，對
分類，結合圖象討論零點的個數.
【試題解析】
（1）
，定義域為
,函數
是奇函數.
又
在
時是減函數,(也可用定義法證明)
故不等式
等價于
即
,
又
故不等式
的解集為
.
(2)由題意知: 
時, 
值域有交集.
時, 
是減函數
當
時, 
時單調遞減, 
當
時, 
時單調遞增, 
顯然不符合
綜上: 
的取值范圍為
(3)由
，得
，令
則
作出圖像
由圖可知，①當
時，由
得出
，
當
時, 
,對應有3個零點；
當
時, 
,對應有1個零點；
②當
時，只有一個
，對應有1個零點；
③當
時，只有一個
，對應只有一個零點；
④當
時， 
，此時
， 
，
由
得在
時， 
，三個
分別對應一個零點，共3個，
在
時， 
，三個
分別對應1個，1個，3個零點，共5個.
綜上所述，當
或
或
時，函數
只有1個零點；
當
或
時，函數
有3個零點；
當
時，函數
有5個零點.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．
（1）令g（x）為f（x）的導函數，求g（x）單調區間；
（2）已知函數f（x）在x=1處取得極大值，求實數a取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知線段AB的端點A的坐標為
，端點B是圓
:
上的動點.
（1）求過A點且與圓
相交時的弦長為
的直線
的方程。
（2）求線段AB中點M的軌跡方程，并說明它是什么圖形。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】數列{an}的前n項和記為Sn ， a1=2，an+1=Sn+2（n∈N*）．
（Ⅰ）求{an}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{nan}的前n項和Tn ．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知圓M：（x+1）2+y2= 
的圓心為M，圓N：（x﹣1）2+y2= 
的圓心為N，一動圓與圓M內切，與圓N外切．
（Ⅰ）求動圓圓心P的軌跡方程；
（Ⅱ）過點（1，0）的直線l與曲線P交于A，B兩點，若 
=﹣2，求直線l的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知y=f（x）（x∈R）是偶函數，當x≥0時，f（x）=x2﹣2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）≥mx在1≤x≤2時都成立，求m的取值范圍．
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