Question

【題目】下列函數中，在其定義域上既是偶函數又在（0，+∞）上單調遞減的是（ ）
A.y=x2
B.y=x+1
C.y=﹣lg|x|
D.y=﹣2x

Answer 1

【答案】C
【解析】解：選項A：f（x）=x2的定義域為R，又∵f（﹣x）=（﹣x）2=x2 ， ∴f（﹣x）=f（x），即f（x）是偶函數．但y=x2在（0，+∞）上單調遞增，故A不正確；
選項B：記f（x）=x+1，則f（1）=2，f（﹣1）=0，∵f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），∴y=x+1是非奇非偶函數，故B不正確；
選項C：定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），記f（x）=﹣lg|x|，
∵f（﹣x）=﹣lg|﹣x|=﹣lg|x|，∴f（﹣x）=f（x），即f（x）是偶函數
當x∈（0，+∞）時，y=﹣lgx．∵y=lgx在（0，+∞）上單調遞增，∴y=﹣lgx在（0，+∞）上單調遞減故C正確；
選項D：記f（x）=﹣2x ， 則f（1）=﹣ ，f（﹣1）=﹣2，∵f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），∴y=﹣2x是非奇非偶函數，故D不正確．
故選：C．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數單調性的判斷方法(單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大�。虎圩鞑畋容^或作商比較)，還要掌握函數的奇偶性(偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱)的相關知識才是答題的關鍵．