Question

設函數 

（1）證明 當，時，；

（2）討論在定義域內的零點個數，并證明你的結論.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2） 時有唯一零點 ，時，有兩個零點，時有唯一零點， 時無零點.

【解析】

試題分析：（1）構造新函數后證明>0恒成立即可；（2）當時通過單調性可知零點只有一個，當時通過的最大值與0的比較即可判斷零點情況.

試題解析：(1) ,令 ，

 ，令 ，則令 ，令 ， .

令 得 .當 時 單調遞增， 時 單調遞減，

又 ， ，∴在上恒小于零.即當時 單調遞減.

又 ，∴當時，>0恒成立，即.

(2) .

1°當 時， 恒成立,即 單調遞增，此時 ， ，此時的零點在 上.

2°當 時， ， .

∴在 上單調遞增，在 上單調遞減，∴ 為的最大值點.

令 可得 即當時有唯一零點；

當 時， ，此時有兩個零點 ， ；

當 時， ，∴在 上無零點.

綜上所述， 時有唯一零點 ，

時，有兩個零點，

時有唯一零點，

 時無零點.

考點：1.導數證明不等式；2.函數的零點；3函數的單調性和最值.