Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）上的動點到焦點距離的最小值為 -1．以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y+ =0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點M（2，0）的直線與橢圓C相交于A，B兩點，P為橢圓上一點，且滿足 + =t （O為坐標原點）．當|AB|= 時，求實數t的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意知a﹣c= ﹣1；又因為b= =1，所以a2=2，b2=1．
故橢圓C的方程為 +y2=1．
（Ⅱ）設直線AB的方程為y=k（x﹣2），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），P（x，y），
由 得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．
△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，∴k2 ．
x1+x2= ，x1x2= ．
又由|AB|= ，得 |x1﹣x2|= ，即 =
可得
又由 + =t ，得（x1+x2 ， y1+y2）=t（x，y），則 = ， =
故 ，即16k2=t2（1+2k2）．
得，t2= ，即t=±
【解析】（Ⅰ）利用橢圓C： =1（a＞b＞0）上的動點到焦點距離的最小值為 -1，可求a﹣c的值，利用直線與圓相切，可得b的值，由此可求橢圓C的方程；（Ⅱ）設直線AB的方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理及|AB|= ， + =t ，即可求得結論．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．