Question

已知，為橢圓的左、右頂點，為其右焦點，是橢圓上異于，的動點，且面積的最大值為．

（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；

（Ⅱ）直線與橢圓在點處的切線交于點，當直線繞點轉動時，試判斷以為直徑的圓與直線的位置關系，并加以證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可設橢圓的方程為，．

由題意知解得，．

故橢圓的方程為，離心率為．……6分

（Ⅱ）以為直徑的圓與直線相切．　　

　　 證明如下：由題意可設直線的方程為.

則點坐標為，中點的坐標為．

由得．

設點的坐標為，則．

所以，．　 ……………………………10分

因為點坐標為，

當時，點的坐標為，點的坐標為.

直線軸，此時以為直徑的圓與直線相切．

當時，則直線的斜率.

所以直線的方程為．

點到直線的距離．

又因為 ，所以．

故以為直徑的圓與直線相切．

綜上得，當直線繞點轉動時，以為直徑的圓與直線相切．………14分