Question

【題目】設函數f（x）=ex（sinx﹣cosx）（0≤x≤2016π），則函數f（x）的各極大值之和為（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：：∵函數f（x）=ex（sinx﹣cosx）， ∴f′（x）=[ex（sinx﹣cosx）]′=ex（sinx﹣cosx）+ex（cosx+sinx）=2exsinx；
令f′（x）=0，解得x=kπ（k∈Z）；
∴當2kπ＜x＜2kπ+π時，f′（x）＞0，原函數單調遞增，
當2kπ+π＜x＜2kπ+2π時，f′（x）＜0，原函數單調遞減；
∴當x=2kπ+π時，函數f（x）取得極大值，
此時f（2kπ+π）=e2kπ+π[sin（2kπ+π）﹣cos（2kπ+π）]=e2kπ+π；
又∵0≤x≤2016π，∴0和2016π都不是極值點，
∴函數f（x）的各極大值之和為：
eπ+e3π+e5π+…+e2015π= ，
故選：D．
先求f′（x）=2exsinx，這樣即可得到f（π），f（3π），f（5π），…，f（2015π）為f（x）的極大值，并且構成以eπ為首項，e2π為公比的等比數列，根據等比數列的求和公式求f（x）的各極大值之和即可．