【題目】已知拋物線
上一點
到焦點F的距離為
.
（1）求拋物線M的方程；
（2）過點F斜率為k的直線l與M相交于C，D兩點，線段
的垂直平分線
與M相交于
兩點，點
分別為線段和
的中點.
①試用k表示點
的坐標；
②若以線段為直徑的圓過點C，求直線l的方程.
【答案】（1）
（2）①
；
②
，或
【解析】
（1）根據題意可得
且
，解得
，進而得出拋物線方程．
（2）①點
的坐標為
，寫出直線
的方程為：
，聯立直線與拋物線
的方程得
，設
，
，
，
，則由韋達定理得
，
，進而得中點
的坐標，再寫出線段
垂直平分線
的方程：
，聯立它與拋物線方程，同理得線段
中點
的坐標．
②根據題意得
，
，在
中，由勾股定理得
，即
，分別由拋物線定義，弦長公式，兩點之間得距離公式表示
，
，
，代入化簡解得
，進而得直線的方程．
解：（1）根據拋物線的定義和已知條件，得
，故
，
由點Q在M上，可知，把代入，得
.
所以拋物線M的方程為：.
（2）①由（1）可知點F的坐標為，所以直線l的方程為：.
聯立
消去y得
，
設
，則，所以，
所以線段中點
.
因為
過點E且與l垂直，所以的方程為：
聯立
消去y，得
，
顯然成立.
設
，則
，所以
，
所以線段中點
②因為以線段為直徑的圓過點C，所以
，
在
中，，
即
.
根據拋物線定義，得
，
又
，
，
所以，由，
得
，
解方程得，所以直線l的方程為，或.
53隨堂測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線C:
的焦點為F，直線y=4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且
.
(1)求拋物線C的方程；
(2)過F的直線l與C相交于A,B兩點，若AB的垂直平分線
與C相交于M,N兩點，且A,M,B,N四點在同一個圓上，求直線l的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某段城鐵線路上依次有
、
、
三站，
，
，在列車運行時刻表上，規定列車
時整從站出發，時
分到達站并停車
，時
分到達站，在實際運行時，假設列車從站正點出發，在站停留，并在行駛時以同一速度
勻速行駛，列車從站到達某站的時間與時刻表上相應時間之差的絕對值稱為列車在該站的運行誤差.
（1）分別寫出列車在、兩站的運行誤差；
（2）若要求列車在、兩站的運行誤差之和不超過
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在氣象臺
正南方向
處有一臺風中心，它以
的速度向北偏東
方向移動，距臺風中心
以內的地方都要受其影響.問：從現在起，大約多長時間后，氣象臺所在地將遭受臺風影響？持續多長時間？（
，
，結果精確到0.01）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】全民健身旨在全面提高國民體質和健康水平，倡導全民做到每天參加一次以上的健身活動，學會兩種以上健身方法，每年進行一次體質測定．為響應全民健身號召，某單位在職工體測后就某項健康指數（百分制）隨機抽取了30名職工的體測數據作為樣本進行調查，具體數據如莖葉圖所示，其中有1名女職工的健康指數的數據模糊不清（用x表示），已知這30名職工的健康指數的平均數為76.2．
（1）根據莖葉圖，求樣本中男職工健康指數的眾數和中位數；
（2）根據莖葉圖，按男女用分層抽樣從這30名職工中隨機抽取5人，再從抽取的5人中隨機抽取2人，求抽取的2人都是男職工的概率；
（3）經計算，樣本中男職工健康指數的平均數為81，女職工現有數據（即剔除x）健康指數的平均數為69，方差為190，求樣本中所有女職工的健康指數的平均數和方差（結果精確到0.1）．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒，已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量
與時間
成正比，藥物釋放完畢后，
與
的函數關系式為
（
為常數）.如圖所示，根據圖中提供的信息，回答下列問題：
（1）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量與時間之間的函數關系式為________；
（2）據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到
以下時，學生方可進教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經過多少時間學生才能回到教室？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
和圓
，傾斜角為45°的直線
過拋物線
的焦點，且與圓
相切．
（1）求
的值；
（2）動點
在拋物線的準線上，動點
在上，若在點處的切線
交
軸于點
，設
．求證點
在定直線上，并求該定直線的方程．
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