Question

【題目】如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，∥,,點在線段上．

（I）當點為中點時，求證：∥平面；

（II）當平面與平面所成銳二面角的余弦值為時，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（I）建立空間直角坐標系，證明，進而得證；（II）

【解析】

試題（1）要證明直線和平面平行，只需在平面內找一條直線，與平面外的直線平行即可，取中點，連結．可證明四邊形為平行四邊形． 于是，∥，從而證明面;（2）要證明平面和平面垂直，只需在一個平面內找另一個平面的一條垂線，由面平面且，可證平面，從而，又可證，故平面，平面平面；（3）建立空間直角坐標系，設點M的坐標，求兩個半平面的法向量，然后利用已知二面角的余弦值列方程，從而確定點M的位置，進而求三棱錐的體積.

試題解析：（1）證明 取中點，連結．在△中，分別為的中點，

則∥，且．由已知∥，，因此，∥，且．所以，四邊形為平行四邊形． 于是，∥．又因為平面，且平面，

所以∥平面，從而可證.

（2）證明 在正方形中，．又平面平面，平面平面，知平面．所以．在直角梯形中，，，算得．在△中，，可得．故平面．又因為平面，所以，平面平面.

（3）按如圖建立空間直角坐標系，點與坐標原點重合.設，則，又，設，則，即.

設是平面的法向量，則,.

取，得，即得平面的一個法向量為. 由題可知，是平面的一個法向量.因此，，即點為中點.此時，，為三棱錐的高，所以，.