Question

已知橢圓C的左、右焦點分別為，橢圓的離心率為，且橢圓經過點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）線段是橢圓過點的弦，且，求內切圓面積最大時實數的值.

Answer 1

（1）；（2），.

解析試題分析：本題主要考查直線、橢圓的標準方程及其性質，考查思維能力，運算能力.第一問，利用離心率和橢圓過定點求橢圓的標準方程；第二問，分兩種情況：當直線與軸垂直時，比較直觀，可求得，而當直線不與軸垂直時，設出直線的方程，讓它與橢圓聯立，消去參數，得到兩根之和、兩根之積，代入到中，通過配方法求面積的最大值，利用內切圓半徑列出的面積，解出的范圍，得到，此時直線與軸垂直，所以.
試題解析：（1），又
    4分
（2）顯然直線不與軸重合
當直線與軸垂直時，||=3，，；      5分
當直線不與軸垂直時，設直線：代入橢圓C的標準方程，
整理，得
                    7分

令
所以
由上，得
所以當直線與軸垂直時最大，且最大面積為3        10分
設內切圓半徑，則
即，此時直線與軸垂直，內切圓面積最大
所以，           12分
考點：1.橢圓的標準方程；2.直線的標準方程；3.韋達定理；4.三角形面積公式；5.配方法求最值.