Question

【題目】已知正三棱錐的高為6，側面與底面成的二面角，則其內切球（與四個面都相切）的表面積為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

過點P作PD⊥平面ABC于D，連結并延長AD交BC于E，連結PE，△ABC是正三角形，AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的中心．由此能求出棱錐的全面積，再求出棱錐的體積，設球的半徑為r，以球心O為頂點，棱錐的四個面為底面把正三棱錐分割為四個小棱錐，利用等體積能求出球的表面積．

如圖，過點P作PD⊥平面ABC于D，

連結并延長AD交BC于E，連結PE，△ABC是正三角形，

∴AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的中心．

∴為側面與底面所成的二面角的平面角，

∴=

∵PD=6，∴DE=2,PE=4 , AB=12,

∴S△ABC=×（12）2=36，S△PAB=S△PBC=S△PCA==24．

∴S表=108.

設球的半徑為r，以球心O為頂點，棱錐的四個面為底面把正三棱錐分割為四個小棱錐，

∵PD=6，∴VP﹣ABC=366=72．

則由等體積可得r==2，

∴S球=4π22=16π．

故選B.