Question

【題目】點P在圓O：x2+y2=8上運動，PD⊥x軸，D為垂足，點M在線段PD上，滿足 ．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）過點Q（1， ）作直線l與點M的軌跡相交于A、B兩點，使點Q為弦AB的中點，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點M在線段PD上，滿足 ，

∴點M是線段PD的中點，

設M（x，y），則P（x，2y），

∵點P在圓O：x2+y2=8上運動，

則x2+（2y）2=8，

即 ，

故點M的軌跡方程為 ．

（2）解：

方法一：當直線l⊥x軸時，由橢圓的對稱性可得弦AB的中點在x軸上，

不可能是點Q，這種情況不滿足題意．

設直線l的方程為 ，

由 ，

可得 ，

由韋達定理可得x1+x2=﹣ ，

由AB的中點為 ，可得﹣ =2，

解得 ，

即直線l的方程為y﹣ =﹣ （x﹣1），

則直線l的方程為x+2y﹣2=0．

方法二：當直線l⊥x軸時，由橢圓的對稱性可得弦AB的中點在x軸上，

不可能是點Q，這種情況不滿足題意．

設A（x1，y1），B（x2，y2），

A、B兩點在橢圓上，

滿足 ，

由（1）﹣（2）可得 ，

則 ，

由AB的中點為 ，可得x1+x2=2，y1+y2=1，代入上式 ，

即直線l的方程為y﹣ =﹣ （x﹣1），

∴直線l的方程為x+2y﹣2=0．

【解析】（1）判斷M線段PD的中點，設M（x，y），則P（x，2y），運用代入法，即可得到所求軌跡方程；（2） 方法一、運用直線方程和橢圓方程聯立，運用韋達定理和中點坐標公式，化簡整理可得斜率k，由點斜式方程可得直線方程；
方法二、設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），A、B兩點在橢圓上，代入橢圓方程，運用作差法和斜率公式，再由點斜式方程可得直線的方程．