Question

【題目】已知數列{an}滿足an=3n﹣2，f（n）= + +…+ ，g（n）=f（n2）﹣f（n﹣1），n∈N* ．
（1）求證：g（2）＞ ；
（2）求證：當n≥3時，g（n）＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：g（2）=f（4）﹣f（1）

=1+ + + ﹣1= + + = ＞ ；

（2）當n≥3時，g（n）=f（n2）﹣f（n﹣1）

=1+ +…+ ﹣（1+ +…+ ）

= + +…+ ，

運用數學歸納法證明．

當n=3時，g（3）= + + +…+ ＞ 成立

（2）

證明：假設n=k時，g（k）＞ ，即有 + +…+ ＞ ，

則n=k+1時，g（k+1）= +…+

= + +…+ + +…+ ﹣

=g（k）+ +…+ ﹣ ，

可得 +…+ ﹣ ＞0，又g（k）＞ ，

即有n=k+1時，g（k+1）＞ ．

故當n≥3時，g（n）＞ ．

【解析】（1）g（2）=f（4）﹣f（1）=1+ + + ﹣1，即可得證；（2）求出g（n），運用數學歸納法及不等式的性質，即可得證．
【考點精析】通過靈活運用函數的值和不等式的證明，掌握函數值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數的單調性法；不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等即可以解答此題．