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【題目】已知（），，且直線與曲線相切.

（1）求的值；

（2）若對內的一切實數，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）求證： （）.

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】試題分析：

(1) 設點為切點，列出方程求解可得， .

(2)不等式即： ，

， 必須恒成立.

設，由是增函數， ， .

因此，實數的取值范圍是.

(3) 結合前面的結論，當， 時， ，得 ，化簡得 ， .即可證得結論.

試題解析：

解：（1）設點為直線與曲線的切點，則有

.（*）

， .（**）

由（*）、（**）兩式，解得， .

（2）由整理，得，

， 要使不等式恒成立，必須恒成立.

設， ，

， 當時， ，則是增函數，

， 是增函數， ， .

因此，實數的取值范圍是.

（3）證明：當時，根據（1）的推導有， 時， ，

即.令，得 ，

化簡得 ，

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數．

（1）若，求函數的極值和單調區間；

（2）若在區間上至少存在一點，使得成立，求實數的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】劉徽是我國魏晉時期著名的數學家，他編著的《海島算經》中有一問題：“今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直。從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合。從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合。問島高幾何?” 意思是：為了測量海島高度，立了兩根表，高均為5步，前后相距1000步，令后表與前表在同一直線上，從前表退行123步，人恰觀測到島峰，從后表退行127步，也恰觀測到島峰，則島峰的高度為（ ）（注：3丈=5步，1里=300步）

A. 4里55步 B. 3里125步 C. 7里125步 D. 6里55步

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某科研小組研究發現：一棵水蜜桃樹的產量（單位：百千克）與肥料費用（單位：百元）滿足如下關系：，且投入的肥料費用不超過5百元.此外，還需要投入其他成本（如施肥的人工費等）百元.已知這種水蜜桃的市場售價為16元/千克（即16百元/百千克），且市場需求始終供不應求.記該棵水蜜桃樹獲得的利潤為（單位：百元）.

（1）求利潤函數的函數關系式，并寫出定義域；

（2）當投入的肥料費用為多少時，該水蜜桃樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】下列正確命題有__________．

①“”是“”的充分不必要條件

②如果命題“”為假命題，則中至多有一個為真命題

③設，若，則的最小值為

④函數在上存在，使，則a的取值范圍或.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點數分別記為．

（Ⅰ）求滿足的概率；

（Ⅱ）設三條線段的長分別為和5，求這三條線段能圍成等腰三角形（含等邊三角形）的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數相鄰兩對稱軸間的距離為，若將的圖像先向左平移個單位，再向下平移1個單位，所得的函數為奇函數.

（1）求的解析式，并求的對稱中心；

（2）若關于的方程在區間上有兩個不相等的實根，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知數列的前項和．

（1）計算，，，；

（2）猜想的表達式，并用數學歸納法證明你的結論．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線， 是焦點，直線是經過點的任意直線．

（Ⅰ）若直線與拋物線交于、兩點，且（是坐標原點， 是垂足），求動點的軌跡方程；

（Ⅱ）若、兩點在拋物線上，且滿足，求證：直線必過定點，并求出定點的坐標．

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