Question

【題目】已知函數．

（1）若，求函數的極值和單調區間；

（2）若在區間上至少存在一點，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）的極小值為，的單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）.

【解析】

試題分析：（1）當，由此求得時，有極小值為，的單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2），令，得到，若在區間上存在一點，使得成立，即在區間上的最小值小于.對分成，，三類進行分類討論，由此求得實數的取值范圍．

試題解析：

（1）當，令，得，

又的定義域為，由得，由，得，

所以時，有極小值為1，

的單調遞增區間為，單調遞減區間為．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2），且，令，得到，若在區間上存在一點，使得成立，即在區間上的最小值小于0．

當，即時，恒成立，即在區間上單調遞減，

故在區間上的最小值為，

由，得，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

當，即時，

①，則對成立，所以在區間上單調遞減，

則在區間上的最小值為，

顯然，在區間上的最小值小于0不成立，

②若，即時，則有

		0
		極小值

所以在區間上的最小值，

由得，解得，即，

綜上，由①②可知：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分