Question

【題目】如圖，橢圓C： =1（a＞b＞0）的右頂點為A（2，0），左、右焦點分別為F1、F2 ， 過點A且斜率為 的直線與y軸交于點P，與橢圓交于另一個點B，且點B在x軸上的射影恰好為點F1 ．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過點P且斜率大于 的直線與橢圓交于M，N兩點（|PM|＞|PN|），若S△PAM：S△PBN=λ，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：因為BF1⊥x軸，得到點 ，

所以 ，所以橢圓C的方程是 ．

（Ⅱ）因為 ，

所以 ．由（Ⅰ）可知P（0，﹣1），設MN方程：y=kx﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），

聯立方程 得：（4k2+3）x2﹣8kx﹣8=0．即得 （*）

又 ，有 ，

將 代入（*）可得： ．

因為 ，有 ，

則 且λ＞2 ．

綜上所述，實數λ的取值范圍為 ．

【解析】（Ⅰ）利用已知條件列出方程組，求解橢圓的幾何量，然后求解橢圓C的方程．

（Ⅱ）利用三角形的面積的比值，推出線段的比值，得到 ．設MN方程：y=kx﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），聯立方程 ，利用韋達定理，求出 ，解出 ，將 橢圓方程，然后求解實數λ的取值范圍．